まず、底辺を固定して考える。
このとき△ABCにおいて、ABを底辺と考えると、
AB+AC=(一定)だから、動点Cの軌跡は楕円になる。
CからABに下ろした垂線の長さが最大となるのは、垂線が短軸と重なるときである。
このとき、底辺一定で高さが最大となるから、△ABCの面積は最大。
楕円は短軸に関して対象だから、△ABCは二等辺三角形。

次に、底辺を動かして考える。
AB=x, AC=BC=yと置き、一定である△ABCの周の長さをaとおくと、
x+2y=a, a>0　…[1]
ここで、x>a/2とすると、y+y<a/2となるから、三角形の成立条件を満たさない。
従って、0<x<a/2
[1]を変形した式x=a-2yを代入し、a/4<y<a/2
ヘロンの公式より
△ABC=√(a/2)(a/2-x)(a/2-y)(a/2-y)
     ={√a(a-2x)(a-2y)^2}/4
この式の分子の√の中身にx=a-2yを代入した式
f(y) = a(a-4y)(a-2y)^2 が最大となるとき、△ABCの面積も最大。

f(y) = (a/16)(y-a/4)(y-a/2)^2 (a/4<y<a/2)と変形する。
このとき、f(y)はその極大値で最大値をとる。
f'(y) = (a/16)(6y^2-5y+a^2)
f'(y) = 0と置くと、y=a/3, a/2
よって、f(y)はy=a/3で極大、a/2で極小。

y=a/3から、AB=BC=CAとなるため、△ABCは正三角形
よって、題意は示された。